Makalah
Teori Antrian
Disusun oleh :
Nama : Resna Yuliani
Nim: 1123070091
Kelas : IV/MKS/C
KATA PENGANTAR
Hamdan wasyukran Lillah, shalatan wassalaman’Ala Rasulilah, dengan memanjatkan puji dan
syukur kehadirat allah SWT, atas limpahan taufik hidayah dan rahmatnya sehingga
penyusun dapat menyelesaikan penulisan makalah “teori antrian“
semoga makalah ini dapat bermanfaat buat kita
pelajari bersama, dan saya menyadari
bahwa dalam penyusunan makalah ini masih sangat banyak kekurangan, maupun
hal-hal lain yang berknaan masih terdapat kelemahan namun tetap diyakini akan
mendatangkan manfaat.
Semoga Allah akan meridhai tujuan mlia kita
bersama akan mencerdaskan kehidupan bangsa yang di landasi oleh iman dan taqwa
dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.
BAB I
PENDAHULUAN
A.
LATAR BELAKANG
MASALAH
Manusia sebagai makhluk sosial, tidak akan
terlepas dari peran serta orang lain dalam kehidupan. Pada kondisi tertentu
manusia pasti membutuhkan jasa orang lain dalam memenuhi kebutuhan hidup, dan
untuk mendapatkannya terkadang mengharuskan untuk menunggu terlebih dulu. Hal
tersebut sangat mungkin terjadi, karena banyak orang yang membutuhkan jasa yang
sama dalam waktu yang bersamaan pula. Kondisi tersebut sering terlihat dalam
kehidupan sehari-sehari, seperti orang menunggu untuk mendapatkan tiket kereta
api, menunggu pesanan di rumah makan, mengantri di kasir sebuah swalayan, dan
mobil yang menunggu giliran untuk dicuci. Kenyataannya menunggu adalah bagian
dari kehidupan sehari-hari, dan yang dapat diharapkan adalah dapat mengurangi
ketidaknyamanan tersebut. Sesuatu yang sangat diharapkan adalah ketika dapat
memperoleh jasa tanpa harus menunggu terlalu lama. Individu – individu yang
menunggu (komponen, produk, kertas kerja, orang) bertujuan untuk mendapatkan
suatu layanan. Pada proses menunggu untuk mendapatkan layanan tersebut menimbulkan
suatu garis tunggu, dan pada garis tunggu tersebut dapat diprediksi
karakteristik – karakteristiknya.Sehingga dapat dijadikan dasar pengambilan
kepustusan agar tercapai kondisi yang lebih baik, misalnya agar tidak terjadi
antrian yang berkepanjangan.
Menurut Sinalungga (2008:238), Teori antrian
(Queueing Theory) merupakan studi probabilistik kejadian garis tunggu (waiting
lines), yakni suatu garis tunggu dari customer yang memerlukan
layanan dari sistem yang ada. Antrian terjadi karena adanya keterbatasan sumber
pelayanan, yang umumnya berkaitan dengan terbatasnya server karena
alasan ekonomi. Jika jumlah server yang disediakan terbatas,
memungkinkan terjadi antrian yang terlalu lama, sehingga orang dapat memutuskan
untuk meninggalkan antrian tersebut. Hal ini merupakan suatu kerugian bagi
pihak perusahaan, karena kehilangan customer. Agar tidak kehilangan customer,
maka pihak perusahaan harus menyediakan server yang mencukupi,
tetapi dilain pihak perusahaan harus mengeluarkan biaya yang lebih besar.
Menurut Wospakrik (1996:302), sistem antrian
adalah himpunancustomer, server beserta aturan yang mengatur
antara kedatangan customer dan pelayanannya. Salah satu komponen dari
sistem antrian adalah pola kedatangan customer. Tipe kedatangan ada dua
macam, yaitu customer tiba dalam sistem antrian secara individu pada
satu waktu dan sekelompok customer yang datang bersamaan pada satu
waktu. Dalam masalah antrian biasa diasumsikan bahwa customer tiba di
suatu fasilitas layanan secara individu. Namun asumsi tersebut terbantahkan
dalam beberapa situasi di dunia nyata, misalnya surat yang tiba di kantor pos,
orang-orang pergi ke rumah makan atau ke bioskop adalah beberapa contoh keadaan
dimana customer tidak datang sendiri – sendiri, tetapi secara
berkelompok dalam satu waktu. Tentu saja kondisi ini berbeda dengan antrian
yang kedatangannya secara individu, misalnya waktu tunggu customer, dan
kesibukan sistem tidak akan sama.Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai
antrian dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival). Penelusuran
rumus dimulai dengan menganalisis sistem antrian dengan satu server.
Menurut Dharma (2001:39), sistem ini banyak ditemui dalam sistem komunikasi.
Tujuan pembahasan ini untuk memperoleh beberapa karakteristik yang dapat
mengukur kinerja/keefektifan sistem antrian. Pada model antrian batch
arrival dengan satu server, diharapkan server mampu
mengakomodasi jumlah antrian unit yang lebih dari satu, yang masuk ke dalam
sistem antrian dalam waktu bersamaan. Sehingga diharapkan unit tidak menunggu
terlalu lama. Dengan demikian akan dibangun konstruksi model antrian yang
sesuai dengan kondisi tersebut.
A.
RUMUSAN
MASALAH
Berdasarkan latar belakang masalah maka
permasalahan dapat dirumuskan sebagai berikut:
1.
Bagaimana model dari sistem antrian satu server dengan pola kedatangan
berkelompok (batch arrival)?
2.
Bagaimana ukuran keefektifan dari model antrian satu server dengan pola
kedatangan berkelompok (batch arrival)?
3.
Bagaimana implementasi model antrian satu server dengan pola kedatangan
berkelompok (batch arrival)?
1. KARAKTERISTIK SISTIM ANTRIAN
Ada tiga
komponen dalam sistim antrian yaitu :
1.
Kedatangan , populasi yang akan dilayani (calling population)
2.
Antrian
3.
Fasilitas pelayanan
Masing-masing komponen dalam sistim antrian
tersebut mempunyai karakteristik sendiri-sendiri. Karakteristik dari
masing-masing komponen tersebut adalah :
Karakteristik Antrian adalah bahwa terdapat
kedatangan, antrian, dan pelayanan.
1. Kedatangan Populasi yang akan Dilayani
(calling population)
Karakteristik dari populasi yang akan
dilayani (calling population) dapat dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan,
serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi
yang akan dilayani bisa terbatas (finite) bisa juga tidak terbatas (infinite).
Sebagai contoh jumlah mahasiswa yang antri untuk registrasi di sebuah perguruan
tinggi sudah diketahui jumlahnya (finite), sedangkan jumlah nasabah bank yang
antri untuk setor, menarik tabungan, maupun membuka rekening baru, bisa tak
terbatas (infinte).
Pola
kedatangan bisa teratur, bisa juga acak (random). Kedatangan yang teratur
sering kita jumpai pada proses pembuatan/ pengemasan produk yang sudah
distandardisasi. Pada proses semacam ini, kedatangan produk untuk diproses pada
bagian selanjutnya biasanya sudah ditentukan waktunya, misalnya setiap 30
detik. Sedangkan pola kedatangan yang sifatnya acak (random) banyak kita jumpai
misalnya kedatangan nasabah di bank. Pola kedatangan yang sifatnya acak dapat
digambarkan dengan distribusi statistik dan dapat ditentukan dua cara yaitu
kedatangan per satuan waktu dan distribusi waktu antar kedatangan.
Contoh :
Kedatangan digambarkan dalam jumlah satu waktu, dan bila kedatangan terjadi
secara acak, informasi yang penting adalah Probabilitas n kedatangan
dalam periode waktu tertentu, dimana n = 0,1,2,.
Jika
kedatangan diasumsikan terjadi dengan kecepatan rata-rata yang konstan dan
bebas satu sama lain disebut distribusi probabilitas Poisson Ahli matematika dan
fisika, Simeon Poisson (1781 – 1840), menemukan sejumlah aplikasi manajerial,
seperti kedatangan pasien di RS, sambungan telepon melalui central switching
system, kedatangan kendaraan di pintu toll, dll. Semua kedatangan tersebut
digambarkan dengan variabel acak yang terputus-putus dan nonnegative integer
(0, 1, 2, 3, 4, 5, dst). Selama 10 menit mobil yang antri di pintu toll bisa 3,
5, 8, dst.
Ciri distribusi poisson:
1.
rata-rata jumlah kedatangan setiap interval bisa diestimasi dari data sebelumnya
2.
bila interval waktu diperkecil misalnya dari 10 menit menjadi 5 menit, maka
pernyataan ini benar
a.
probabilita bahwa seorang pasien datang merupakan angka yang sangat kecil dan
konstan untuk setiap interval
b.
probabilita bahwa 2 atau lebih pasien akan datang dalam waktu interval sangat
kecil sehingga probabilita untuk 2 atau lebih dikatakan nol (0).
c.
Jumlah pasien yang yang datang pada interval waktu bersifat independent
d.
Jumlah pasien yang datang pada satu interval tidak tergantung pada interval
yang lain.
λ = rata-rata kedatangn persatuan waktu
Suatu faktor yang mempengaruhi penilaian
distribusi kedatangan adalah ukuran populasi panggilan .
T = periode waktu
n =
jumlah kedatangan dalam waktu T
P (n,T) =
probabilitas n kedatangan dalam waktu T
P(T≤ t)
= probabilitas di mana waktu antar kedatangan T ≤ suatu waktu tertentu
λ =
rata - rata kedatangan persatuan waktu
t =
suatu waktu tertentu
Contoh : jika seorang tukang reparasi sedang
memperbaiki enam buah mesin, populasi panggilan dibatasi sampai dengan enam
buah mesin. Dalam hal ini tidak mungkin bahwa kedatangan mengikuti distribusi
Poisson sebab tingkat kecepatan kerusakan tidak konstan. Jika lima buah mesin
telah rusak, tingkat kedatangan lebih rendah daripada bila seluruh mesin dalam
keadaan operasi.
Perilaku kedatangan.
Populasi yang
akan dilayani mempunyai perilaku yang berbeda-beda dalam membentuk antrian. Ada
tiga jenis perilaku: reneging, balking, dan jockeying. Reneging menggambarkan
situasi dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum memperoleh pelayanan,
kemudian meninggalkan antrian tersebut. Balking menggambarkan orang yang tidak
masuk dalam antrian dan langsung meninggalkan tempat antrian. Jockeying
menggambarkan orang yang pindah-pindah antrian.
2. Antrian
Batasan panjang antrian bisa terbatas
(limited) bisa juga tidak terbatas (unlimited). Sebagai contoh antrian di jalan
tol masuk dalam kategori panjang antrian yang tidak terbatas. Sementara antrian
di rumah makan, masuk kategori panjang antrian yang terbatas karena
keterbatasan tempat. Dalam kasus batasan panjang antrian yang tertentu (definite
line-length) dapat menyebabkan penundaan kedatangan antrian bila batasan
telah tercapai. Contoh : sejumlah tertentu pesawat pada landasan telah melebihi
suatu kapasitas bandara, kedatangan pesawat yang baru dialihkan ke bandara yang
lain.
3. Fasilitas Pelayanan
Karakteristik fasilitas pelayanan dapat
dilihat dari tiga hal, yaitu tata letak (lay out) secara fisik dari sistem
antrian, disiplin antrian, waktu pelayanan.
Tata letak
Tata letak fisik dari sistem antrian
digambarkan dengan jumlah saluran, juga disebut sebagai jumlah pelayan. Sistem
antrian jalur tunggal (single channel, single server) berarti bahwa dalam
sistem antrian tersebut hanya terdapat satu pemberi layanan serta satu jenis
layanan yang diberikan. Sementara sistem antrian jalur tunggal tahapan berganda
(single channel multi server) berarti dalam sistem antrian tersebut terdapat
lebih dari satu jenis layanan yang diberikan, tetapi dalam setiap jenis layanan
hanya terdapat satu pemberi layanan.
Sistem antrian
jalur berganda satu tahap (multi channel single server) adalah terdapat satu
jenis layanan dalam sistem antrian tersebut , namun terdapat lebih dari satu
pemberi layanan. Sedangkan sistem antrian jalur berganda dengan tahapan
berganda (multi channel, multi server) adalah sistem antrian dimana terdapat
lebih dari satu jenis layanan dan terdapat lebih dari satu pemberi layanan
dalam setiap jenis layanan.
Disiplin
antrian
Disiplin antrian dikelompokkan menjadi dua,
yaitu preemptive dan non preemptive. Disiplin preemptive menggambarkan situasi
dimana pelayan sedang melayani seseorang, kemudian beralih melayani orang yang
diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orang sebelumnya. Sementara
disiplin non preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan akan menyelesaikan
pelayanannya baru kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan.
Sedangkan disiplin first come first serve menggambarkan bahwa orang yang lebih
dahulu datang akan dilayani terlebih dahulu. Dalam kenyataannya sering dijumpai
kombinasi dari tersebut. Yaitu prioritas dan first come first serve. Sebagai
contoh, para pembeli yang akan melakukan pembayaran di kasir untuk pembelian
kurang dari sepuluh jenis barang (dengan keranjang) di super market disediakan
counter tersendiri. Karakteristik waktu pelayanan. Waktu yang dibutuhkan
untukdikategorikan sebagai konstan dan acak. Waktu pelayanan konstan, jika
waktu yang dibutuhkan untuk melayani sama untuk setiap pelanggan. Sedangkan
waktu pelayanan acak, jika waktu yang dibutuhkan untuk melayani berbeda-beda
untuk setiap pelanggan. Jika waktu pelayanan acak, diasumsikan mengikuti
distribusi eksponensial. disiplin
antrian . MULTICHANNEL, MULTISERVER asi yaitu prioritas dan first
come first serve. Disiplin prioritas kedua jenis disiplin antrian k melayani
bisa Fasilitas pelayanan
2. PERILAKU BIAYA
Ada dua jenis biaya yang timbul. Yaitu biaya
karena orang Dalam sistem antrian ada
mengantri, dan di sisi lain biaya karena menambah fasilitas layanan. Biaya yang
terjadi karena orang mengantri, antara lain berupa waktu yang hilang karena
menunggu. Sementara biaya menambah fasilitas layanan berupa penambahan
fasilitas layanan serta gaji tenaga kerja yang memberi pelayanan. Tujuan dari
sistem antrian adalah meminimalkan biaya total, yaitu biaya karena mengantri
dan biaya karena menambah fasilitas layanan.
B. TUJUAN
Dengan mengacu pada latar belakang masalah
dan rumusan masalah, maka tujuan dari penulisan ini adalah:
1.
Menjelaskan tingkah laku dari model sistem antrian satu server dengan
pola kedatangan berkelompok (batch arrival).
2.
Menjelaskan ukuran keefektifan dari model antrian satu server dengan
pola kedatangan berkelompok (batch arrival).
3.
Menjelaskan implementasi model antrian satu server dengan pola
kedatangan berkelompok (batch arrival).
C. MANFAAT
Penulisan tugas akhir ini diharapkan dapat
memberikan manfaat sebagai berikut:
1.
Bagi pembaca memberikan gambaran mengenai model antrian satu server dengan
pola kedatangan berkelompok (batch arrival).
2.
Bagi perpustakaan jurusan pendidikan matematika memberikan tambahan referensi
tentang kajian teori antrian.
3.
Bagi instansi dapat dijadikan pertimbangan sebagai dasar pengambilan keputusan
dalam pengoptimalan server.
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diuraikan tentang dasar –
dasar yang diperlukan dalam pembahasan model antrian dengan pola kedatangan
berkelompok.Pembahasannya mencakup tentang model antrian dengan pola kedatangan
secara individu yang berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi
Eksponensial.
A. Proses Antrian
1. Definisi
Proses Antrian
Menurut Bronson (1996: 310), proses antrian
merupakan proses yang berhubungan dengan kedatangan customer pada suatu
fasilitas pelayanan, menunggu panggilan dalam baris antrian jika belum
mendapatpelayanan dan akhirnya meninggalkan fasilitas pelayanan setelah
mendapat pelayanan. Proses ini dimulai saat customer – customer yang
memerlukan pelayanan mulai datang. Mereka berasal dari suatu populasi yang
disebut sebagai sumber input. Menurut Hillier dan Lieberman (1980: 401), proses
antrian adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan customer ke
suatu sistem antrian, kemudian menunggu dalam antrian hingga pelayan memilih customer
sesuai dengan disiplin pelayanan, dan akhirnya customer meninggalkan
sistem antrian setelah selesai pelayanan. Sistem antrian adalah himpunan customer,
pelayan, dan suatu aturan yang mengatur kedatangan para customer dan
pelayanannya. Sistem antrian merupakan “ proses kelahiran – kematian “ dengan
suatu populasi yang terdiri atas para customer yang sedang menunggu
pelayanan atau yang sedang dilayani. Kelahiran terjadi jika seorang customer
memasuki fasilitas pelayanan, sedangkan kematian terjadi jika customer meninggalkan
fasilitas pelayanan. Keadaan sistem adalah jumlah customer dalam suatu
fasilitas pelayanan. (Wospakrik, 1996 :302)
1. KOMPONEN DASAR DALAM PROSES ANTRIAN
Menurut Taha (1997:609), suatu sistem antrian
bergantung pada tujuh komponen yaitu pola kedatangan, pola kepergian, kapasitas
sistem, desain pelayanan, disiplin pelayanan, ukuran sumber pemanggilan, dan
perilaku manusia. Komponen – komponen tersebut diuraikan sebagai berikut.
a. Pola Kedatangan
Menurut Wagner (1972:840), pola kedatangan
adalah pola pembentukan antrian akibat kedatangan customer dalam selang
waktu tertentu. Pola kedatangan dapat diketahui secara pasti atau berupa suatu
variabel acak yang distribusi peluangnya dianggap telahdiketahui. Jika tidak
disebutkan secara khusus customer datang secara individu ke dalam sistem
antrian. Namun dapat pula lebih dari satu customer datang secara
bersamaan ke dalam sistem antrian, pada kondisi ini disebut dengan bulk
arrival (Taha, 1997:177).
b. Pola Kepergian
Pola kepergian adalah banyak kepergian customer
selama periode waktu tertentu. Pola kepergian biasanya dicirikan oleh waktu
pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan oleh seorang pelayan untuk melayani
seorang customer. Waktu pelayanan dapat bersifat deterministik dan dapat
berupa suatu variabel acak dengan distribusi peluang tertentu (Bronson, 1996 :
310). Waktu pelayanan bersifat deterministik berarti bahwa waktu yang
dibutuhkan untuk melayani setiap customer selalu tetap, sedangkan waktu
pelayanan yang berupa variabel acak adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani
setiap customer berbeda – beda.
c. Kapasitas Sistem
Menurut Bronson (1996:310), kapasitas sistem
adalah banyak maksimum customer, baik customer yang sedang berada
dalam pelayanan maupun dalam antrian, yang ditampung oleh fasilitas pelayanan
pada waktu yang sama. Suatu sistem antrian yang tidak membatasi banyak customer
dalam fasilitas pelayanannya disebut sistem berkapasitas tak berhingga,
sedangkan suatu sistem yang membatasi banyak customer dalam fasilitas
pelayanannya disebut sistem berkapasitas berhingga, jika customer memasuki
sistem pada saat fasilitas pelayanan penuh maka customer akan ditolak
dan meninggalkan sistem tanpa memperoleh pelayanan.
d. Desain Pelayanan
Menurut Sinalungga (2008:249), Desain sarana
pelayanan dapat diklasifikasikan dalam channel dan phase yang
akan membentuk suatu struktur antrian yang berbeda-beda. Channel menunjukkan
jumlah jalur untuk memasuki sistem pelayanan. Phase berarti jumlah
stasiun stasiun pelayanan, dimana para langganan harus melaluinya sebelum
pelayanan dinyatakan lengkap. Ada empat model struktur antrian dasar yang umum
terjadi dalam seluruh sistem antrian: 1. Single Chanel – Single Phase Single
Chanel berarti bahwa hanya ada satu jalur untuk.memasuki sistem pelayanan
atau ada satu pelayanan. Single phase menunjukkan bahwa hanya ada satu
stasiun pelayanan sehingga yang telah menerima pelayanan dapat langsung
keluar dari sistem antrian. Contohnya antrian pada penjualan karcis
kereta api yang hanya dibuka satu loket.
2. Single Channel - Multi Phase
Multi phase berarti ada
dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakn secara berurutan dalam phase-phase.
Misalnya pada antrian di laundry, pakaian – pakaian setelah dicuci kemudian
dijemur lalu disetrika dan terakhir dikemas.
3. Multi Chanel - Single Phase
Sistem multi chanel-single phase terjadi
jika ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh suatu antrian tunggal.
Sebagai contoh adalah Sarana pelayanan nasabah di Bank.
4. Multi Chanel - Multi Phase
Sistem ini terjadi jika ada dua atau lebih
fasilitas pelayanan dengan pelayanannya lebih dari satu phase. Sebagai
contoh adalah pelayanan kepada pasien di rumah sakit dari pendaftaran,
diagnosa, tindakan medis sampai pembayaran. Setiap sistem-sistem ini mempunyai
beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap, sehingga lebih dari satu
individu dapat dilayani pada suatu waktu.
e. Disiplin Pelayanan
Menurut Sinalungga (2008: 251), disiplin
pelayanan adalah suatu aturan yang dikenalkan dalam memilih customer dari
barisan antrian untuk segera dilayani. Adapun pembagian disiplin pelayanan
ialah:
1. First come first served (FCFS) atau
first in first out (FIFO),
suatu peraturan dimana yang akan dilayani
ialah customer yang datang terlebih dahulu. Contohnya antrian di suatu
kasir sebuah swalayan.
2. Last come first served (LCFS) atau last
in first out (LIFO)
merupakan antrian dimana yang datang paling
akhir adalah yang dilayani paling awal atau paling dahulu. Contohnya antrian
pada satu tumpukan barang digudang, barang yang terakhir masuk akan berada
ditumpukkan paling atas, sehingga akan diambil pertama.
3. Service in random order (SIRO) atau
pelayanan dalam urutan
acak atau sering dikenal juga random
selection for services (RSS), artinya pelayanan atau panggilan didasarkan
pada peluang secara random, tidak mempermasalahkan siapa yang lebih
dahulu tiba. Contohnya kertas – kertas undian yang menunggu untuk
ditentukan pemenangnya, yang diambil secara acak.
4. Priority service (PS), artinya
prioritas pelayanan diberikan
kepada mereka yang mempunyai prioritas paling
tinggi dibandingkan dengan mereka yang memiliki prioritas paling rendah,
meskipun yang terakhir ini sudah lebih dahulu tiba dalam garis tunggu. Kejadian
seperti ini bisa disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang keadaan
penyakit yang lebih berat dibanding dengan orang lain dalam sebuah rumah
sakit.
f. Sumber Pemanggilan
Menurut Taha (1996:177), ukuran sumber
pemanggilan adalah banyaknya populasi yang membutuhkan pelayanan dalam suatu
sistem antrian. Ukuran sumber pemanggilan dapat terbatas maupun tak terbatas.
Sumber pemanggilan terbatas misalnya mahasiswa yang akan melakukan registrasi
ulang di suatu universitas, dimana jumlahnya sudah pasti. Sedangkan sumber
pemanggilan yang tak terbatas misalnya nasabah bank yang antri untuk menabung
atau membuka rekening baru, jumlahnya bisa tak terbatas.
g. Perilaku Manusia
Perilaku manusia merupakan perilaku –
perilaku yang mempengaruhi suatu sistem antrian ketika manusia mempunyai peran
dalam sistem baik sebagai customer maupun pelayan. Jika manusia berperan
sebagai pelayan, dapat melayani customer dengan cepat atau lambat sesuai
kemampuannya sehingga mempengaruhi lamanya waktu tunggu (Taha,
1996:178).Menurut Gross dan Harris (1998:3), perilaku manusia dalam sistem
antrian jika berperan sebagai customer sebagai berikut. 1. Reneging mengGambarkan
situasi dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum memperoleh pelayanan,
kemudian meninggalkan antrian tersebut.
Balking menggambarkan orang yang tidak masuk dalam
antrian dan langsung meninggalkan tempat antrian. Jockeying mengGambarkan
situasi jika dalam sistem ada dua atau lebih jalur antrian maka orang dapat
berpindah antrian dari jalur yang satu ke jalur yang lain.
A. Notasi Kendall
Notasi baku untuk memodelkan suatu sistem
antrian pertama kali dikemukakan oleh D.G.Kendall dikenal sebagainotasi
kendall. Namun, A.M. Lee menambahkan simbol menjadi yang disebut notasi kendall-Lee
(Taha, 1996:627).
B. Proses Kelahiran dan Kematian (Birth –
Death Processes)
Proses kedatangan dan kepergian dalam suatu
sistem antrian merupakan proses kelahiran dan kematian (birth – death
processes). Kelahiran terjadi jika seorang customer memasuki sistem
antrian dan kematian terjadi jika seorang customer meninggalkan sistem
antrian tersebut.
C. Distribusi Eksponensial dan Distribusi
Poisson
1. Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial digunakan untuk
mengGambarkan distribusi waktu pada fasilitas jasa, dimana waktu pelayanan
tersebut diasumsikan bersifat bebas. Artinya, waktu untuk melayani pendatang
tidak bergantung pada lama waktu yang telah dihabiskan untuk melayani pendatang
sebelumnya, dan tidak bergantung pada jumlah pendatang yang menunggu untuk
dilayani.( Djauhari, 1997:175-176 ).
2. Distribusi Poisson
Suatu eksperimen yang menghasilkan jumlah
sukses yang terjadi pada interval waktu ataupun daerah yang spesifik dikenal
sebagai eksperimen Poisson. Interval waktu tersebut dapat berupa menit,
hari,minggu, bulan, maupun tahun, sedangkan daerah yang spesifik dapat berarti
garis, luas, sisi, maupun material. ( Dimyati, 1999:309 ) Menurut Dimyati,
(1999:309) ciri-ciri eksperimen Poisson adalah :
a.
Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu
daerah tertentu bersifat independen terhadap banyaknya hasil percobaan yang
terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.
b.
Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat
sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang
waktu tesebut atau besarnya daerah tersebut.
I. Ukuran Keefektifan Sistem Antrian
Menurut Taha (1997, 189:190), ukuran
keefektifan suatu sistem antrian dapat ditentukan setelah probabilitas steady
state diketahui. Ukuran – ukuran keefektifan suatu sistem tersebut antara
lain:
1) Nilai
harapan banyaknya customer dalam sistem antrian
2) Nilai
harapan banyaknya customer dalam antrian
3) Nilai
harapan waktu tunggu dalam sistem antrian
4) Nilai
harapan waktu tunggu dalam antrian
Sebelum membahas lebih lanjut, akan diuraikan
lima definisi yang mendukung pembahasan ukuran keefektifan suatu sistem.Jumlah customer
dalam sistem adalah jumlah customer dalam antrian ditambah jumlah customer
yang sedang mendapat layanan.Laju kedatangan efektif merupakan laju
kedatangan rata – rata dalam waktu yang panjang. Laju kedatangan efektif
dinotasikan .
Model Antrian (M/M/k)
Sebagai dasar dalam pembahasan model antrian (M/M/k)akan
dibahas terlebih dahulu model antrian (M/M/k)
1. Solusi Steady-State untuk Model (M/M/k)
Sistem antrian (M/M/k)merupakan model
antrian satu sever dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu
pelayanan berdistribusi Eksponensial. Model ini merupakan model tanpa
batas.
kapasitas baik dari kapasitas sistem maupun
kapasitas sumber pemanggilan. Aturan pelayanannya bersifat FCFS, yaitu customer
yang datang pertama dilayani terlebih dahulu begitu seterusnya. Notasi
sistem antrian ini berdasarkan dengan notasi Kendall-Lee.Jika kedatangan customer
mengikuti distribusi Poisson dengan laju , maka dari asumsi (i) probability
sebuah kedatangan terjadi , dan berdasarkan asumsi (v).
BAB III
PEMBAHASAN
Dalam makalah ini akan dibahas tentang
keefektifan sistem antrian multiserver dengan pola kedatangan
berkelompok (batch arrival).
A. Pola Kedatangan Berkelompok ( Batch
Arrival )
Sebagai contoh situasi pada sistem antrian
dimana customer dating secara berkelompok yaitu kedatangan customer secara
berkelompok disebuah restoran, dan surat – surat yang tiba di kantor pos.
Ilustrasi sistem antrian dengan pola kedatangan berkelompok ( batch arrival
) terlihat dalam
Pada sistem antrian ini customer datang
secara berkelompok dengan ukuran kelompok tersebut adalah _, dimana secara umum
_ adalah variable acak positif. Pada pembahasan ini, customer datang
berdasarkan distribusi Poisson dengan laju kedatangan , dan terdapat sebuah server
yang memiliki waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial dengan laju
pelayanan , dimana customer dilayani secara individu dengan disiplin
antrian FIFO ( First In First Out ). Desain pelayanan pada sistem
antrian ini adalah Single Channel Single Phase. Notasi untuk model
antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok (batch
arrival ) tersebut.
A.Proses Kedatangan dan Kepergian pada Sistem
Antrian M/M/k
Pada sistem antrian dengan pola kedatangan
berkelompok ( batch arrival ), ukuran suatu kelompok yang masuk kedalam
suatu sistem antrian merupakan variabel acak positif _, dengan fungsi
peluang kedatangan suatu kelompok berukuran adalah Karena proses kedatangan pada sistem
antrian dengan pola kedatangan berkelompok mengikuti distribusi Poisson dengan
banyaknya kedatangan tiap satuan waktu. Dan setiap kedatangan tersebut
berukuran __, maka banyaknya kedatangan tiap satuan waktu pada sistem
antrian M/M/k ini adalah Laju transisi untuk sistem antrian M/M/k dapat
dilihat dalam
B. Solusi Steady
state Model Antrian m/m/k
Kondisi steady state yaitu keadaan
sistem yang tidak tergantung pada keadaan awal maupun waktu yang telah dilalui.
Jika suatu sistem antrian telah mencapai kondisi steady state maka
peluang terdapat * customer dalam sistem pada waktu t, yang dinotasikan
dengan m/m/k tidak tergantung pada waktu.
C. Ukuran Keefektifan Sistem Antrian m/m/k
Ukuran keefektifan suatu sistem antrian batch
arrival dapat ditentukan setelah PGF dari O diketahui. Ukuran – ukuran
keefektifan dari suatu sistem antrian tersebut adalah banyak customer dalam
sistem/ef, banyak customer yang menunggu dalam antrian/eg, waktu tunggu
setiap customer dalam 70 sistem/hf, waktu tunggu setiap customer dalam
antrian/hg, dan persentase pemanfaatan sarana pelayanan/ij. Ukuran – ukuran
keefektifan tersebut dapat digunakan untuk menganalisis operasi situasi
antrian, yang dimaksudkan untuk pembuatan rekomendasi tentang rancangan sistem
tersebut.
1. Nilai Harapan Banyak Customer dalam
Sistem
Nilai harapan banyak customer dalam
sistem antrian merupakan jumlah keseluruhan dari perkalian customer dalam
sistem dan probabilitasnya,
D. Implementasi
Agar lebih memahami tentang model antrian
m/m/k diberikan contoh penerapan soal sebagai berikut. Sebagai ilustrasi
penulis memberikan Gambaran penerapan model antrian pada situasi antrian yang
terjadi di sebuah kantor pajak. Data yang diolah adalah data yang dibangun
dengan software minitab yang distribusi kedatangannya memenuhi
distribusi Poisson dan waktu pelayanannya memenuhi distribusi Eksponensial.
BAB IV
SIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Model antrian satu server dengan pola
kedatangan berkelompok ( batch arrival ) dinotasikan dengan m/m/k dengan
X adalah variabel acak yang menyatakan ukuran kelompok yang masuk ke
dalam sistem antrian. Model tersebut menggambarkan sistem antrian dengan
pola kedatangan customer secara berkelompok yang berdistribusi Poisson,
dan pelayanan customer secara individu dengan waktu pelayanan
berdistribusi Eksponensial. Dasar untuk menganalisis model antrian
dengan pola kedatangan berkelompok adalah dengan menentukan probability
generating function ( PGF ) dari banyak customer dalam sistem.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar